Entendo perfeitamente o quanto isso te deixa sem saída.
Esse erro de "verificação falhou: erro ao tentar conectar ao servidor", especialmente quando ocorre em diferentes aparelhos, aponta muito para um problema temporário com os servidores da Apple relacionados à sua conta, ou que seu ID Apple possa ter alguma restrição de segurança ativa no momento.
A primeira coisa a tentar é esperar algumas horas e tentar novamente, pois esses erros de servidor às vezes são transitórios. Tente também usar uma rede de internet diferente (por exemplo, dados móveis em vez de Wi-Fi, ou vice-versa). O mais importante é tentar o processo de recuperação de senha diretamente pelo site oficial da Apple, iforgot.apple.com, usando um computador. Se o problema persistir, o ideal é entrar em contato direto com a Apple, pois eles conseguirão investigar o que está acontecendo especificamente com seu ID Apple nos servidores deles.